Question

某公园举办雕塑展览吸引着四方宾客．旅游人数x与人均消费t（元）的关系如下：x=

-12t+1600    (10≤t≤50，t∈N) -6t+1300    (50＜t≤200，t∈N).

（1）若游客客源充足，那么当天接待游客多少人时，公园的旅游收入最多？
（2）若公园每天运营成本为5万元（不含工作人员的工资），还要上缴占旅游收入20%的税收，其余自负盈亏．目前公园的工作人员维持在40人．要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营（不负债），每天的游客人数应控制在怎样的合理范围内？（注：旅游收入=旅游人数×人均消费）

Answer 1

分析：（1）旅游收入=旅游人数×人均消费，把旅游人数x与人均消费t的分段函数式代入计算即可；
（2）考虑公园每天运营的最低成本=40×100+50000=54000，可排除第一种情况；第二种情况应满足：旅游收入×80%≥54000，求出t的范围，从而得出旅游人数x的范围．

解答：解：（1）设当天的旅游收入为L，那么L=xt，得L=

-12t2+1600t  (10≤t≤50，t∈N) -6t2+1300t  (50＜t≤200，t∈N)

；
当10≤t≤50时，L=-12t²+1600t≤-12×50²+1600×50=50000（元），
当50＜t≤200时，L=-6t2+1300t=-6(t-

325

3

)2+

211250

3

，
∵t∈N，∴当t=108元时，L_max=70416（元），此时x=652（人）；
故当天接待旅游人数为652人时旅游收入最多，最多收入为70416元．
（2）要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营，即每天的旅游收入上缴税收后
不低于54000元，因（-12t²+1600t）_max=50000≤54000，（10≤t≤50），显然不满足条件；
由（-6t²+1300t）×80%≥54000，得3t²-650t+33750≤0，（50＜t≤200），∴87≤t≤130；
此时旅游人数x满足：520≤x≤778，故每天的游客人数应控制在520人到778人之间．

点评：本题利用分段函数模型考查了实际应用问题，二次函数的最值，一元二次不等式的解法等，是中档题．