Question

已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

Answer 1

分析：（I）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（II）根据f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可；
（III）根据函数的单调性分两种情况讨论，当

t

2

≥1与当0＜

t

2

＜1时，研究函数的单调性，然后根据区间端点的符号进行判定对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点从而得到结论．

解答：解：（I）当t=1时，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0
f'（x）=12x²+6x-6，f'（0）=-6，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．
（II）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

∵t≠0，以下分两种情况讨论：
（1）若t＜0，则

t

2

＜-t，∴f（x）的单调增区间是（-∞，

t

2

），（-t，+∞）；f（x）的单调减区间是（

t

2

，-t）
（2）若t＞0，则

t

2

＞-t，∴f（x）的单调增区间是（-∞，-t），（

t

2

，+∞）；f（x）的单调减区间是（-t，

t

2

）
（III）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，

t

2

）内单调递减，在（

t

2

，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当

t

2

≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减．
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-13＜0
所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
（2）当0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，

t

2

）内单调递减，在（

t

2

，1）内单调递增
若t∈（0，1]，f（

t

2

）=-

7

4

t3+t-1≤-

7

4

t3＜0，
f（1）=）=-6t²+4t+3≥-2t+3＞0
所以f（x）在（

t

2

，1）内存在零点．
若t∈（1，2），f（

t

2

）=-

7

4

t3+t-1＜-

7

4

t3+1＜0，
f（0）=t-1＞0∴f（x）在（0，

t

2

）内存在零点．
所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

点评：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．