Question

(本小题满分13分，第Ⅰ小题4分，第Ⅱ小题6分，第Ⅲ小题3分)

如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面;

（Ⅱ）求二面角的大小;

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）∵

∴，…………（3分）

又∵

∴…………（4分）

（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵，∴，从而        …………（6分）

作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，

从而为二面角的平面角

直线与直线所成的角为

∴

在中，由余弦定理得

在中，    …………（8分）

在中，     …………（9分）

在中，

故二面角的平面角大小为…………（10分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形

∴…………（13分）

解法二：（Ⅰ）同解法一 …………（4分）

（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，

由直线与直线所成的解为，得

∴

则，取，

平面的法向量取为

设与所成的角为，则

显然，二面角的平面角为锐角，

故二面角的平面角大小为…………（10分）

（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离

∴

…………（13分）

本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。