Question

如图(1)在等腰中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，，
现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))
(I)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，
并说明理由；(II).求二面角E-DF-C的余弦值；
(III)在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.

Answer 1

法一（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．………………4分
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角，∴AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，取CD的点M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角.……6分设CD＝a,则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝, △DFC中,设底边DF上的高为h由，∴h＝在Rt△EMN中，EM=，MN= h＝，
∴tan∠MNE=2从而cos∠MNE＝……8分
（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，…………  9分
证明如下：在图2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q
由已知得∠AED＝120°，于是点G在DE的延长线上，
从而Q在DC的延长线上，过Q作PQ⊥CD交BC于P
∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。… 12分
法二（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
设CD＝a，则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝则A（0，0，），B（，0，0），
C（0，.…… 5分
取平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，
则 得…6分
……7分
所以二面角E—DF—C的余弦值为……8分
（Ⅲ）设，
又，………  9分
……11分
把，可知点P在BC的延长线上
所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE.……12分

略