Question

（本小题满分12分）如图所示，已知中，AB=2OB=4，D为AB的中点，若是绕直线AO旋转而成的，记二面角B—AO—C的大小为（I）若，求证：平面平面AOB；（II）若时，求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：（I）如图所示，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，

       OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，

  

 

则A（0，0，2），B（0，2，0），D（0，1，），C（2sinθ，2cosθ，0）．

       设＝（x，y，z）为平面COD的一个法向量，

由，得，……3分

       取z＝sinθ，则＝（cosθ，－sinθ，sinθ）＝（0，－，1）

       因为平面AOB的一个法向量为＝（1，0，0），得·＝0，

       因此平面COD⊥平面AOB．            ……6分

       （II）设二面角C－OD－B的大小为α，由（1）得

       当θ＝时，cosα＝0；当θ∈（，］时，tanθ≤－，

       cosα＝＝＝－，……10分

 

 

故－≤cosα＜0．因此cosα的最小值为－，

综上，二面角C－OD－B的余弦值的最小值为－．            ……12分

       解法二：（I）因为AO⊥OB，二面角B－AO－C为，           ……3分

       所以OB⊥OC，又OC⊥OA，所以OC⊥平面AOB                                                      

       所以平面AOB⊥平面CO                         D．                          ……6分

       （II）当θ＝时，二面角C－OD－B的余弦值为0；……7分

当θ∈（，］时，过B作OD的垂线，垂足为E，

过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，

则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角．

在Rt△OCF中，CF＝2sinθ，OF＝－2cosθ，

在Rt△CGF中，GF＝OFsin＝－cosθ，CG＝，

所以cos∠CGF＝＝－．因为θ∈（，］，tanθ≤－，故0＜cos∠CGF＝≤．所以二面角C－OD－B的余弦值的最小值为－．                          ……12分

 

 

【解析】略