Question

已知△ABC的周长为6，|

BC

|，|

CA

|，|

AB

|依次为a，b，c，成等比数列．
（1）求证：0＜B≤

π

3

（2）求△ABC的面积S的最大值；
（3）求

BA

•

BC

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）、根据题中已知条件求出a，b，c之间的关系，然后利用余弦定理便可求出cosB的值，即可证明0＜B≤

π

3

；
（2）、由（1）中所求得的角B的最大值，再根据题中条件求出b的取值范围，便可知当b=2，∠B=

π

3

时三角形的面积最大；
（3）、利用余弦定理结合前面求得的a，b，c的关系便可求出

BA

•

BC

关于b的表达式，然后根据b的取值范围求出

BA

•

BC

的取值范围．

解答：解：（1）a+b+c=6，b²=ac，不妨设a≤b≤c，
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

故有0＜B≤

π

3

，
（2）又b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，从而0＜b≤2．
∵△ABC三边依次为a，b，c，则a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，∴b＞

-3+3 5

2

，
∴

-3+3 5

2

＜b≤2；
所以S=

1

2

acsinB=

1

2

b2sinB≤

1

2

•22•sin

π

3

=

3

，即Smax=

3

（3）所以

BA

•

BC

=accosB=

a2+c2-b2

2

=

(a+c)2-2ac-b2

2

=

(6-b)2-3b2

2

=-(b+3)2+27
∵

-3+3 5

2

＜b≤2；
∴2≤

BA

•

BC

＜

27-9 5

2

；

点评：本题考查了等比数列的基本性质以及三角函数的运用，考查了学生的计算能力和数列与三角函数的综合掌握，解题时注意转化思想的运用，属于中档题．