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    定义空间两个向量的一种运算
    a
    ⊕
    b
    =|
    a
    |-|
    b
    |sin＜
    a
    ，
    b
    ＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中，
    ①
    a
    ⊕
    b
    =
    b
    ⊕
    a
    ，
    ②λ（
    a
    ⊕
    b
    ）=（λ
    a
    ）⊕
    b
    ，
    ③（
    a
    ⊕
    b
    ）⊕
    c
    =（
    a
    ⊕
    c
    ）（
    b
    ⊕
    c
    ），
    ④若
    a
    =（x1，y1），
    b
    =（x2，y2），则
    a
    ⊕
    b
    =|x1y2-x2y1|；
    恒成立的个数有（　　）
    分析：①和②需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；③由定义知这类：“
    a
    ⊕
    b
    ”运算的结果是实数，从而得到结论不成立；④根据数量积求出cos＜
    a
    ，
    b
    ＞    ，再由平方关系求出sin＜
    a
    ，
    b
    ＞    的值，代入定义进行化简验证即可．
    解答：解：①、∵
    a
    ⊕
    b
    =|
    a
    |-|
    b
    |sin＜
    a
    ，
    b
    ＞    ，
    ∴
    b
    ⊕
    a
    =|
    b
    |-|
    a
    |sin＜
    b
    ，
    a
    ＞    ，故
    a
    ⊕
    b
    =
    b
    ⊕
    a
    不会恒成立；
    ②、∵λ(
    a
    ⊕
    b
    )=λ(|
    a
    |-|
    b
    |sin＜
    a
    ，
    b
    ＞)    ，且(λ
    a
    )⊕
    b
    =|λ||
    a
    |-|
    b
    |sin＜λ
    a
    ，
    b
    ＞    ，
    ∴λ(
    a
    ⊕
    b
    )=(λ
    a
    )⊕
    b
    不会恒成立；
    ③、由定义知
    a
    ⊕
    b
    、
    a
    ⊕
    c
    、
    b
    ⊕
    c
    结果是实数，而
    c
    是向量，故（
    a
    ⊕
    b
    ）⊕
    c
    ≠（
    a
    ⊕
    c
    ）（
    b
    ⊕
    c
    ）；
    ④、∵cos＜
    a
    ，
    b
    ＞    =
    x1x2+y1y2
    |
    a
    ||
    b
    |
    ，∴sin＜
    a
    ，
    b
    ＞=
    		1-(
    x1x2+y1y2
    |
    a
    ||
    b
    |
    )    2
    ，
    ∴
    a
    ⊕
    b
    =|
    a
    |-|
    b
    |×
    		1-(
    x1x2+y1y2
    |
    a
    ||
    b
    |
    )    2
    =|
    a
    |-
    		|
    b
    |    2    -(
    x1x2+y1y2
    |
    a
    |
    )    2

    =
    		x12+y12
    -
    		x22+y22-(
    x1x2+y1y2
    		x12+y12
    )    2
    ≠|x1y2-x2y1|．不成立
    综上，恒成立的命题个数为零
    故选A．
    点评：本题考查了向量的数量积和向量的模的公式，利用给出的定义进行证明结论，计算量很大．
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    定义空间两个向量的一种运算
    a
    ⊕
    b
    =|
    a
    |-|
    b
    |sin＜
    a
    ，
    b
    ＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中，
    ①
    a
    ⊕
    b
    =
    b
    ⊕
    a
    ，
    ②λ（
    a
    ⊕
    b
    ）=（λ
    a
    ）⊕
    b
    ，
    ③（
    a
    ⊕
    b
    ）⊕
    c
    =（
    a
    ⊕
    c
    ）（
    b
    ⊕
    c
    ），
    ④若
    a
    =（x1，y1），
    b
    =（x2，y2），则
    a
    ⊕
    b
    =|x1y2-x2y1|；
    恒成立的个数有（　　）
    A．0个B．2个C．3个D．4个

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年广东省肇庆市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版） 题型：选择题

    定义空间两个向量的一种运算⊕=||-||sin＜，＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中，
    ①⊕=⊕，
    ②λ（⊕）=（λ）⊕，
    ③（⊕）⊕=（⊕）（⊕），
    ④若=（x1，y1），=（x2，y2），则⊕=|x1y2-x2y1|；
    恒成立的个数有（ ）
    A．0个
    B．2个
    C．3个
    D．4个

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