Question

（08年周至二中四模理）( 14分)

直线l:ax－y－1=0与曲线C：x²－2y²=1交于P、Q两点，

(1)当实数a为何值时，|PQ|=2.

(2)是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解析：(1)设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),,      ∴(1－2a²)x²+4ax－3=0.

若1－2a²=0,即a=±时，l与C的渐近线平行，l与C只有一个交点，与题意不合，

∴1－2a²≠0,Δ=(4a)²－4(1－2a²)(－3)＞0,    ∴－＜a＜.

  (*)        ∴｜PQ｜=｜x₁－x₂｜=2.

∴(x₁－x₂)²=4,∴(x₁+x₂)²－4x₁x₂=4.     ∴(－)²－4=4.

∴a=±1∈(－,).

∴所求的实数a的值为a=±1.                                                                          6分

(2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O，则由OP⊥OQ，得y₁?y₂=－x₁?x₂.

∴(ax₁－1)?(ax₂－1)=－x₁?x₂,

∴(1+a²)x₁?x₂－a(x₁+x₂)+1=0.                                                                          10分

把(*)式代入得：a²=－2与a为实数矛盾，

∴不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点.                                              10分