Question

已知F，F'分别是椭圆C₁：17x²+16y²=17的上、下焦点，直线l₁过点F'且垂直于椭圆长轴，动直线l₂垂直l₁于点G，线段GF的垂直平分线交l₂于点H，点H的轨迹为C₂．
（Ⅰ）求轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）若动点P在直线l：x-y-2=0上运动，且过点P作轨迹C₂的两务切线PA、PB，切点为A、B，试猜想∠PFA与∠PFB的大小关系，并证明你的结论的正确性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆C₁：17x²+16y²=17，可得F，F'的坐标，从而可得动点H到定直线l₁：y=-与定点F（0，）的距离相等，由此可得轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）猜想∠PFA与∠PFB，先求切线AP、BP的方程，联立可得P的坐标，进一步可得、、的坐标，利用向量的夹角公式，可得cos∠AFP=cos∠BFP，从而可得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C₁：17x²+16y²=17，∴椭圆半焦距长为
∴F′（0，-），F（0，）
∵HG=HF，∴动点H到定直线l₁：y=-与定点F（0，）的距离相等
∴动点H的轨迹为以定直线l₁：y=-为准线，定点F（0，）为焦点的抛物线
∴轨迹C₂的方程为x²=y；
（Ⅱ）猜想∠PFA与∠PFB，证明如下：
由（Ⅰ）设A（），B（）（x≠x₁）
∴切线AP：，切线BP：
联立可得P的坐标，y_P=xx₁
∵=（），=（），=（，）
由于P在抛物线外，则
∴cos∠AFP==
同理可得cos∠BFP==
∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠AFP=∠BFP．
点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，正确运用向量的夹角公式是关键．