Question

椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上有两点P，Q，O是坐标原点，若OP，OQ的斜率之积为-

1

4

．
（1）求证：|OP|²+|OQ|²是定值．
（2）求PQ的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）利用参数设出点的坐标，根据OP，OQ的斜率之积为-

1

4

，可得α-β=2kπ±

π

2

，进而可得|OP|²+|OQ|²是定值；
（2）确定PQ的中点M的坐标，消去参数，即可求得PQ的中点M的轨迹方程．

解答：（1）证明：设P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ）．
∵OP，OQ的斜率之积为-

1

4

，
∴

2sinα

4cosα

×

2sinβ

4cosβ

=-

1

4

∴cos（α-β）=0，
∴α-β=2kπ±

π

2

，k∈Z．
∴|OP|²+|OQ|²=16（cosα）²+4（sinα）²+16（cosβ）²+4（sinβ）²=20（cosβ）²+20（sinβ）²=20为定值；
（2）解：设M（x，y），则x=2cosα+2cosβ，即

x

2

=cosα+cosβ①，y=sinα+sinβ②
∴①²+②²可得：

x2

4

+y2=2，即

x2

8

+

y2

2

=1．

点评：本题考查椭圆的方程，考查轨迹方程，考查参数的运用，正确设出点的坐标是关键．