Question

【题目】已知抛物线：（）的焦点是椭圆：（）的右焦点，且两曲线有公共点

（1）求椭圆的方程；

（2）为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）将点代入抛物线得抛物线焦点，进而得椭圆中，再将点代入椭圆求解即可；

（2）当直线的斜率不存在时，得；当直线的斜率存在时，设直线：，与椭圆联立得：，设，由韦达定理得，为的重心， ，点点在椭圆上，所以代入椭圆可得，由，到的距离为，得代入求解即可证得.

试题解析：

（1）将点代入可得

抛物线的焦点为，

椭圆中又点在椭圆上，，

解得 椭圆：

（2）当直线的斜率不存在时，关于轴对称，

为的重心，为椭圆长轴顶点，

，到的距离为.

.

当直线的斜率存在时，设直线：，联立方程

，消得有两不等实根

.

设，，

.

又为的重心， ，

又点在椭圆上， ，得

.

到的距离为

.

的面积为定值.