Question

设O为坐标原点，A（1，1），若点B满足

x2+y2-2x-2y+1≥0 1≤x≤2 1≤y≤2

，则

OB

在

OA

上投影的最小值为（　　）

• A、2
• B、2

  2

• C、

  2

  2

• D、

  3 2

  2

Answer 1

分析：利用向量的数量积求出目标函数，作出不等式组表示的可行域，作出与目标函数平行的直线，将直线平行由图知当与圆相切时，z最小．利用圆心到直线的距离等于半径求出z值．

解答：解：设B（x，y），
画出

x2+y2-2x-2y+1≥0 1≤x≤2 1≤y≤2

表示的平面区域，如图所示：

点B为图中的阴影部分中的任一点，由题意可知：
当B与图中的M或N重合时，cos∠AOB最小，且|

OB

|也最小，
在△AOM中，|OA|=

1+1

=

2

，|OM|=

1+22

=

5

，|AM|=2-1=1，
则根据余弦定理得：cos∠AOM=

|OM|2+|OA|2-|AM|2

2|OM|•|OA|

=

3 10

10

，
由此时B与M重合得到：cos∠AOB=

3 10

10

，|

OB

|=

5

，
则

OB

在

OA

上投影的最小值为|

OB

|cos∠AOB=

5

×

3 10

10

=

3 2

2

．
故选D

点评：本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有平面向量射影的定义，不等式组构成的平面区域，勾股定理，以及余弦定理，利用了数形结合的思想，要求学生根据题意画出相应的图形，借助图形找出射影最小值时点B的位置是解本题的关键．