Question

已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．

(Ⅰ)试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程．

(Ⅱ)是否存在过N(4，2)的直线m，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分？

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，2分 　　其方程为．5分 　　(Ⅱ)解法一：假设存在满足题设的直线．设直线与轨迹交于， 　　依题意，得．6分 　　①当直线的斜率不存在时，不合题意．7分 　　②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，8分 　　联立方程组， 　　消去，得，9分 　　∴，解得；10分 　　此时，方程(*)为，其判别式大于零，11分 　　∴存在满足题设的直线；12分 　　且直线的方程为：即；13分 　　解法二：假设存在满足题设的直线．设直线与轨迹交于， 　　依题意，得；6分 　　易判断直线不可能垂直轴，7分 　　∴设直线的方程为，8分 　　联立方程组， 　　消去，得，9分 　　∵， 　　∴直线与轨迹必相交．10分 　　又，∴．11分 　　∴存在满足题设的直线；12分 　　且直线的方程为：即；13分 　　解法三：假设存在满足题设的直线．设直线与轨迹交于， 　　依题意，得；6分 　　∵在轨迹上， 　　∴有，将，得．8分 　　当时，弦的中点不是，不合题意，9分 　　∴，即直线的斜率，10分 　　注意到点在曲线的张口内(或：经检验，直线与轨迹相交)；11分 　　∴存在满足题设的直线；12分 　　且直线的方程为：即；13分