Question

如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：
（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A₁B₁C₁D₁的三边A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A₁B₁C₁D₁面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程；
（2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰A₁B₁的方程，分别令y=0和y=1求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形A₁B₁C₁D₁面积，利用基本不等式求出其最小值．

解答：解：（1）如图，设M（x，y），B′（x₀，2），又E（0，b）
显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b，，则kBB/=

2

x0

=-

1

k

⇒k=-

x0

2

而BB′的中点(

x0

2

，1)在直线l上，
故(-

x0

2

)•

x0

2

+b=1⇒b=1+

x 2 0

4

，①
由于

EM

=

EB

+

EB′

⇒(x，y-b)=(0，-b)+(x0，2-b)⇒

x=x0 y=2-b

代入①即得y=-

x2

4

+1，又0≤x₀≤2点M的轨迹方程y=-

x2

4

+1（0≤x≤2）-------------（6分）
（2）易知曲线S的方程为y=-

x2

4

+1（-2≤x≤2）
设梯形A₁B₁C₁D₁的面积为s，点P的坐标为(t，-

1

4

t2+1)(0＜t≤2)．
由题意得，点Q的坐标为（0，1），直线B₁C₁的方程为y=1．
对于y=-

x2

4

+1有y′=-

x

2

∴y′|x=t=-

t

2

∴直线A₁B₁的方程为y-(-

1

4

t2+1)=-

t

2

(x-t)，
即：y=-

t

2

x+

1

4

t2+1令y=0得，x=

t2+4

2t

，
∴A1(

t2+4

2t

，0)．
令y=1得，x=

1

2

t，
∴B1(

1

2

t，1)
所以s=

1

2

×(

1

2

t+

t2+4

2t

)×1×2=t+

2

t

≥2

2

当且仅当t=

2

t

，即t=

2

时，取“=”且

2

∈(0，2]，t=

2

时，
s有最小值为2

2

．梯形A₁B₁C₁D₁的面积的最小值为2

2

----------（15分）

点评：本题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算的几何意义；曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；利用基本不等式求函数的最值．属于一道难题．