Question

已知集合M是满足下面性质的函数f（x）的全体：在定义域内，方程f（x+1）=f（x）+f（1）有实数解．
（1）函数f(x)=

1

x

是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=lg

t

x2+1

∈M，求t的取值范围．

Answer 1

（1）在定义域内，
∵f(x)=

1

x

，f（x+1）=f（x）+f（1）
∴

1

x+1

=

1

x

+1?x2+x+1=0，
∵方程x²+x+1=0无实数解，
∴f(x)=

1

x

∉M．（6分）
（2）∵函数f(x)=lg

t

x2+1

∈M，
∴lg

t

(x+1)2+1

=lg

t

x2+1

+lg

t

2

，
∴（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有实数解，
t=2时，x=-

1

2

；
t≠2时，由△=4t²-4（t-2）×2（t-1）≥0，
得t2-6t+4≤0?t∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
∴t∈[3-

5

，3+

5

]．（12分）