Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+3在x=2时取得最小值，且函数f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣mx的一个零点在区间（0，2）上，另一个零点在区间（2，3）上，求实数m的取值范围．
（3）当x∈[t，t+1]时，函数f（x）的最小值为﹣ ，求实数t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为二次函数f（x）=ax2+bx+3在x=2时取得最小值，

所以 =2，即b=﹣4a，

所以f（x）=ax2﹣4ax+3，

设函数f（x）的图象在x轴上的两个交点分别为（x1，0），（x2，0），

所以|x1﹣x2|= ﹣2，

所以a=1．

所以f（x）=x2﹣4x+3

（2）解：g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+4）x+3

因为函数g（x）的一个零点在区间（0，2）上，另一个零点在区间（2，3）上．

所以

所以﹣ ＜a＜0

（3）解：由（1）知，f（x）=x2﹣4x+3的对称轴是x=2，

①当t+1≤2时，即t≤1时，函数f（x）在区间[t，t+1]上是单调减函数，

所以当x=t+1时，函数取最小值t2﹣2t= ，

解得：t=1﹣ ．

②当t＜2＜t+1时，即1＜t＜2时，

当x=2时，函数取最小值﹣1≠ ，

③当t≥2时，函数f（x）在区间[t，t+1]上是单调增函数，

所以当x=t时，函数取最小值t2﹣4t+3= ，

解得：t=2+ ．

综合上所述，t=1﹣ 或t=2+

【解析】（1）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx+3在x=2时取得最小值，且函数f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2．求出a，b值，可得函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣mx的一个零点在区间（0，2）上，另一个零点在区间（2，3）上，则 ，解得实数m的取值范围．（3）由（1）知，f（x）=x2﹣4x+3的对称轴是x=2，分析给定区间与对称的位置关系，结合当x∈[t，t+1]时，函数f（x）的最小值为﹣ ，分类讨论，可得实数t的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．