Question

【题目】已知椭圆（）的一个焦点与抛物线的焦点重合，截抛物线的准线所得弦长为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图所示，，，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为.证明：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由椭圆与抛物线的焦点相同可知椭圆的焦点为,即,且抛物线的准线为,再由弦长为1可得椭圆与准线的一个交点为,即可代入椭圆方程中,进而求解即可；

（2）由（1）可得点的坐标,设直线的方程为（,）,与椭圆方程联立可得点的坐标,由直线的方程为与直线的方程联立可得点的坐标,再根据三点共线可得点的坐标,即可求得的斜率,进而得证.

（1）解:由题,椭圆焦点即为抛物线的焦点为,准线方程为,①,

又椭圆截抛物线的准线所得弦长为1,

∴可得一个交点为,②,由①②可得,

从而,

∴该椭圆的方程为

（2）证明:由（1）可得,且点不为椭圆顶点,

则可设直线的方程为（,）,③

③代入,解得,

因为直线的方程为④

③与④联立解得,

由,,三点共线知,即,解得,

所以的斜率为,

则（定值）.