Question

过点T（2，0）的直线交抛物线y²=4x于A、B两点.

   （I）若直线l交y轴于点M，且当m变化时，求的值；

   （II）设A、B在直线上的射影为D、E，连结AE、BD相交于一点N，则当m变化时，点N为定点的充要条件是n=－2.

Answer 1

（1）-1（2）同解析

解析:

（I）设

       由

      

       又

      

       同理，由

      

   （II）方法一：当m=0时，A（2，2），B（2，－），D（n，2），

       E（n，－2）.

       ∵ABED为矩形，∴直线AE、BD的交点N的坐标为（

       当

      

       同理，对、进行类似计算也得（*）式

       即n=－2时，N为定点（0，0）.

       反之，当N为定点，则由（*）式等于0，得n=－2.

       方法二：首先n=－2时，则D（－2，y₁），A（

         ①

         ②

       ①－②得

      

      

       反之，若N为定点N（0，0），设此时

       则

       由D、N、B三点共线，   ③

       同理E、N、A三点共线， ④

       ③+④得

       即－16m+8m－4mn=0，m(n+2)=0.

       故对任意的m都有n=－2.