Question

设P：关于x的y=a^x（a＞0且a≠1）是R上的减函数．Q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值围．

Answer 1

分析：由函数y=a^x（a＞0且a≠1）是R上的减函数可得P；由函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．可得ax²-x+a＞0恒成立，结合二次函数的性质可求Q，而P和Q有且仅有一个正确即是①P正确而Q不正确，②Q正确而P不正确，两种情况可求a的范围

解答：解：由函数y=a^x（a＞0且a≠1）是R上的减函数可得，0＜a＜1
即使P正确的a的取值范围是：0＜a＜1（2分）
由函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．可得ax²-x+a＞0恒成立
（1）当a=0时，ax²-x+a=-x不能对一切实数恒大于0．
（2）当a≠0时，由题意可得，△=1-4a²＜0，且a＞0
∴a＞

1

2

故Q正确：a＞

1

2

（4分）
①若P正确而Q不正确，则

0＜a＜1 a≤ 1 2

即0＜a≤

1

2

，（6分）
②若Q正确而P不正确，则

a＞ 1 2 a＞1

即a＞1，（8分）
故所求的a的取值范围是：0＜a≤

1

2

或a＞1（10分）

点评：本题主要考查了复合命题的真假判断的应用，解题的关键是熟练利用函数的性质准确求出使得P，Q正确的所对应的a的范围．