Question

【题目】已知，记为正整数a的各位数字之和。试求正整数t的最小值，使得在任意t个连续的正整数中总能找到一个数c，满足。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设.则

当10(a+1)时，f(a+1)=f(a)+1；

当时，

.

首先证明：在任意个连续正整数中，总能找到一个数c，满足m|f(c).

若这t个数中有的倍数，设其为.

则f(a)=f(b)=s.

由，其中，u=0，1,...,8；v=0,1,...,k，知的f值为

，

其中，必有一个为9k+r的倍数.

由，其中，u=0，1,...,9；u=0,1,...,k，知的f值为

，

其中，必有一个为9k+r的倍数.

若这t个数中没有的倍数，则其中有的倍数.设最小的倍数为a,f(a)=s.

同上，知的f值为，其中，必有一个为9k+r的倍数.

综上，在个连续正整数中必有一数c，满足m|f(c).

从而，.

其次，分三种情形求.

1 当r=1,2,4,5,7,8时，.

下面构造个连续正整数，使得其中没有数c，满足mlf(c).

取，满足(9k+r)|(9i+1).则在中，只有首尾两数的f值是9k+r的倍数.故中间的个连续正整数中没有数c，满足(9k+r)|f(c).

2 当r=3,6时，.

因个连续正整数中必有一数c，满足(9k+r)|f(c).此时，3|f(c).而的末尾三数中各自只有一个数是3的倍数，故在连续个数A中首尾共个数可以去掉，即在个连续正整数中必有一数c，满足(9h+r)|f(c).

下面构造个连续正整数，使得其中没有数c，满足m|f(c).

取，满足(9k+r)|(9i+3)，则在至这个连续正整数中没有数c，满足(9k+r)|f(c).

3 当r=9时，.

类似(2)知，9|f(c)且的末尾九个数中各自只有一个数是9的倍数.

故在个连续正整数中必有一数c，满足9(k+1)|f(c)，且在

至这个连续正整数中没有数c，满足9(k+1)|f(c).