Question

（1）观察下列各式：

1+0.1

2+0.1

＞

1

2

；

0.2+ 3

0.5+ 3

＞

0.2

0.5

；

2 +7

3 +7

＞

2

3

；

72+π

101+π

＞

72

101

…请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题（写出已知，求证），并用分析法加以证明．
（2）命题p：已知a＞0且a≠1，函数y=log₂x单调递减，命题q：f（x）=x²-2ax+1（

1

2

，+∞）上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分析已知条件中：

1+0.1

2+0.1

＞

1

2

；

0.2+ 3

0.5+ 3

＞

0.2

0.5

；…我们可以发现对于一个分式，分子和分母都加上同一个数后，其值变大，由此不难得到结论．
（2）依题意可分别求得命题p为真命题与命题q为真命题时a的取值范围，再结合题意，利用真值表通过解不等式组即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）已知a＞b＞0，m＞0，求证

b+m

a+m

＞

b

a

…（3分）
证明：分析法a＞b＞0，m＞0，
欲证：

b+m

a+m

＞

b

a

只需证：a（b+m）＞b（a+m）
只需证：ab+am＞ab+bm
只需证：am＞bm
只需证：a＞b
由已知a＞b成立
所以

b+m

a+m

＞

b

a

成立…（6分）
（2）由命题P可知0＜a＜1…（7分）
由命题q：f（x）=（x-a）²+1-a²在（

1

2

，+∞）上为增函数，∴a≤

1

2

…（8分）
由命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，可知命题p、q为真命题恰好一真一假，
（i）p真，q假时，

0＜a＜1 a＞ 1 2

，∴

1

2

＜a＜1；　　　
（ii）p假，q真时，

a≤0或a≥1 a≤ 1 2

∴a∈∅…（11分）
综上：a的范围(

1

2

，1)…（12分）

点评：本题主要考查了复合命题的真假、归纳推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证．