Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若不过原点的直线与椭圆相交于两点，与直线相较于点，且是线段的中点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由椭圆的方程的离心率和椭圆上的点代入方程，列出方程组，求得的值，得到椭圆的方程；

（2）当直线的斜率不存在时， 的中点不在直线上，故直线的斜率存在.

设直线的方程为与椭圆的方程联立，求得，进而得到点的坐标，

因为在直线上，解得，以及利用，求得实数，

把三角形的面积表达成实数的表示，即可求解面积的最大值．

试题解析：

(1) 由椭圆的离心率为,点在椭圆上得解得所以椭圆的方程为.

(2)易得直线的方程为.

当直线的斜率不存在时， 的中点不在直线上，故直线的斜率存在.

设直线的方程为,与联立消得

,

所以.

设,则,.

由,所以的中点,

因为在直线上，所以,解得

所以,得,且,

又原点到直线的距离,

所以，

当且仅当时等号成立，符合,且.

所以面积的最大值为： .