Question

（2012•广东模拟）如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点B到平面ACD的距离．

Answer 1

分析：（1）取BD中点M，连接AM，ME．因AB=AD=

2

，故AM⊥BD，因 DB=2，DC=1，BC=

5

满足：DB²+DC²=BC²，所以△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，因E是BC的中点，所以ME为△BCD的中位线ME

∥ .

.

1

2

CD，由此能够证明AE⊥平面BDC．
（2）以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系由B（1，0，0），E(0，

1

2

，0)，A(0，

1

2

，

3

2

)，D（-1，0，0），C（-1，1，0），知

AB

=(1，-

1

2

，-

3

2

)，

CD

=(0，-1，0)，由此能法度出异面直线AB与CD所成角．
（3）由

AD

=(-1，-

1

2

，-

3

2

)，

CD

=(0，-1，0)，知

n

=(

3

，0，-2)满足，

n

•

AD

=0，

n

•

CD

=0，

n

是平面ACD的一个法向量，由此能求出点B到平面ACD的距离．

解答：解：（1）如图1取BD中点M，连接AM，ME．因AB=AD=

2

．
∴AM⊥BD（3）…（1分）
因 DB=2，DC=1，BC=

5

满足：DB²+DC²=BC²，
所以△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，
因E是BC的中点，所以ME为△BCD的中位线ME

∥ .

.

1

2

CD，
∴ME⊥BD，ME=

1

2

…（2分）
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角，
∴∠AME=60°…（3分）
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线
∴BD⊥平面AEM∵AE?平面AEM，
∴BD⊥AE…（4分）
因AB=AD=

2

．，DB=2，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AM=

1

2

BD=1，AE2=AM2+ME2-2AM•ME•cos∠AME=1+

1

4

-2×1×

1

2

×cos60°=

3

4

∴AE=

3

2

∴AE²+ME²=1=AM²，
∴AE⊥ME…（6分）
∴BD∩ME，BD?面BDC，ME?面BDC，
∴AE⊥平面BDC…（7分）
（2）如图2，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，（8分）
则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E(0，

1

2

，0)，A(0，

1

2

，

3

2

)，
D（-1，0，0），C（-1，1，0），

AB

=(1，-

1

2

，-

3

2

)，

CD

=(0，-1，0)，…（9分）
设异面直线AB与CD所成角为θ，
则cosθ=|

AB • CD

|AB| •| CD |

|…（10分）
=

1 2

2 ×1

=

2

4

．…（11分）
（3）由

AD

=(-1，-

1

2

，-

3

2

)，

CD

=(0，-1，0)，
可知

n

=(

3

，0，-2)满足，

n

•

AD

=0，

n

•

CD

=0，

n

是平面ACD的一个法向量，…（12分）
记点B到平面ACD的距离d，
则

AB

在法向量

n

方向上的投影绝对值为d
则d=|

AB • n

| n |

|…（13分），
所以d=|

3 +0+ 3

( 3 )2+0+(-2)2

|=

2 21

7

…（14分）

点评：本题考查直线和平面垂直的证明，求异面直线与直线所成角的余弦值，求点到平面的距离．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．