Question

已知椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点都在原点，且两曲线的焦点均在x轴上，若A（1，2），B（2，0），C(

2

，

2

2

)中有两点在椭圆C₁上，另一点在抛物线C₂上．
（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C₁交于M，N两点，与抛物线C₂交于P，Q两点．问是否存在直线l使得以线段MN为直径的圆和以线段PQ为直径的圆都过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）抛物线方程为y²=2px，椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，根据抛物线顶点在原点断定B点必不在抛物线上，进而可把B代入椭圆方程求得a；把A和C点分别代入椭圆方程求得b（注意验证b是否符合），进而通过另一个点求得p，答案可得．
（II）设直线l：x=my+n，将x=my+n代入椭圆方程消去x后，根据△＞0得出m和n的关系式，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由OM⊥ON得，x₁x₂+y_!y₂=0，进而得到m和n的另一个关系式，将x=

y2

4

代入x=my+n根据△＞0得m²+n＞0再由OP⊥OQ得得n²-4n=0联立方程求得m和n，最后经验证m和n都符合题意，进而可得结论．

解答：解：（I）设抛物线方程为y²=2px，椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
∵抛物线顶点在原点
∴B点不可能在抛物线上，则在椭圆上代入椭圆方程得

4

a2

+0=1，解得a=2
如果c点在椭圆上，代入椭圆方程得

2

4

+

1 2

b2

=1，解得b=1符合题意
则椭圆的方程为

x2

4

+y2=1
∴点A必在抛物线上，代入抛物线方程得2p=4
∴p=2
∴抛物线方程为：y²=4x．

（II）若存在直线l使得以线段MN为直径的圆和以PQ为直径的圆都过原点，
设直线l：x=my+n，将x=my+n代入椭圆C1：

x2

4

+y2=1，并整理得，（m²+4）y²+2mny+n²-4=0，
△₁=4m²n²-4（m²+4）（n²-4）＞0，即m²-n²+4＞0；=1 ①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

-2mn

m2+4

，y1y2=

n2-4

m2+4

，
由OM⊥ON得，x₁x₂+y_!y₂=0，即（m²+1）y_!y₂+mn（y₁+y₂）+n²=0，
∴(m2+1)

n2-4

m2+4

+mn•

-2mn

m2+4

+n2=0，得5n²-4m²-4=0；②
将x=

y2

4

代入x=my+n，得

y2

4

-my-n=0，△₂=m²+n＞0，③
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则y₃+y₄=4m，y₃y₄=-4n，
由OP⊥OQ得，x₃x₄+y₃y₄=0，即（m²+1）y₃y₄+mn（y₃+y₄）+n²=0，
∴（m²+1）（-4n）+mn•4m+n²=0，得n²-4n=0；
显然n≠0，∴n=4，代入②得：m=±

19

；
经检验m=±

19

，n=4都适合 ①③式．
所以存在直线l：x±

19

y-4=0使得以线段MN为直径和以PQ为直径的圆都过原点．

点评：本题主要考查直线、椭圆和抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等