Question

已知正项数列{a_n}满足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*），设bn=

1

an

，数列{b_n}的前n项的和S_n，则S_n的取值范围为（　　）

• A．(0，

  1

  2

  )
• B．[

  1

  3

  ，

  1

  2

  )
• C．(

  1

  3

  ，

  1

  2

  )
• D．[

  1

  3

  ，

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：本题通过递推关系，可以得到

an

2n+1

-

an-1

2n-1

=2，即数列{

an

2n+1

}是以1为首项，2为公差的等差数列，可求

an

2n+1

=

1

2n-1

，

1

an

=

1

(2n-1)(2n+1)

，通过裂项可求s_n=

n

2n+1

，当n=1时，s₁=

1

3

，n→+∞时，s_n→

1

2

．故可以排除A，C，D答案选B．

解答：解：∵（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N*），
∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=2（4n²-1），
又n＞1，等式两端同除以4n²-1得：

an

2n+1

-

an-1

2n-1

=2，即数列{

an

2n+1

}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴

an

2n+1

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴

1

an

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴s_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．当n=1时，s1=

1

3

；n→+∞时，sn→

1

2

∴

1

3

≤ sn＜

1

2

，
故答案为B．

点评：本题考查数列的递推关系与数列极限问题，解题的关键是对条件合理转化，转化为数列{

an

2n+1

}是以1为首项，2为公差的等差数列，然后用等差数列求通项的方法求

1

an

的通项，裂项之后求和即可．