Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点F（1，0），点（2，0）在椭圆C上，AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（I）求椭圆C的方程；
（II）求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设a=2，c=1，从而b²=a²-c²=3，即可得椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题意得F（1，0），N（4，0）．设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），

m2

4

+

n2

3

=1，由题意知AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，n（x-4）-（m-4）y=0．由此入手能够推出动点M的轨迹方程．

解答：解：
（Ⅰ）由题设a=2，c=1，从而b²=a²-c²=3，
所以椭圆C前方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由题意得F（1，0），N（4，0）．
设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），

m2

4

+

n2

3

=1．①
AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）-（m-4）y=0．
设M（x₀，y₀），则有n（x₀-1）-（m-1）y₀=0，②
n（x₀-4）+（m-4）y₀=0，③
由②，③得
x₀=

5m-8

2m-5

，y0=

3n

2m-5

由于

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

3n2

(2m-5)2

=

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

3n2

(2m-5)2

=

(5m-8)2+12n2

4(2m-5)2

=

(5m-8)2+36-9m2

4(2m-5)2

=1
所以动点M的轨迹方程为：

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的轨迹问题等基本知识，解答的关键是直线交轨法的应用．属于中档题．