Question

如图，已知斜四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD．

(1)  证明：C₁C⊥BD；

(2)  当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：连结A₁C₁、AC，AC和BD交于O，连结C₁O．

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BC=CD．

又∵ ∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C=C₁C，

∴ △C₁BC≌△C₁DC，

∴ C₁B=C₁D，

∵ DO=OB，

∴ C₁O⊥BD，                                                      ——3分

但AC⊥BD，AC∩C₁O= O，

∴ BD⊥平面AC₁．

又 C₁C平面AC₁，

∴ C₁C⊥BD．                                                      ——6分

(2) 当=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD．

证明一：

∵ =1，

∴ BC=CD=C₁C，

又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，

由此可推得BD=C₁B=C₁D．

∴ 三棱锥C－C₁BD是正三棱锥．                                      ——9分

设A₁C与C₁O相交于G．

∵ A₁C₁∥AC，且A₁C₁：OC=2：1，

∴ C₁G︰GO=2︰1．

又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，

∴ 点G是正三角形C₁BD的中心，

∴ CG⊥平面C₁BD．

即A₁C⊥平面C₁BD．                                                ——12分

证明二：

由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC₁，

∵ A₁C平面AC₁，

∴  BD⊥A₁C．                                                     ——9分

当时，斜四棱柱的六个面是全等的菱形，

同BD⊥A₁C的证法可得BC₁⊥A₁C．

BDBC₁=B，

∴  A₁C⊥平面C₁BD．

 

 

【解析】略