Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁为a（a∈R）设数列的前n项和为S_n，且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（Ⅱ）记A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，B_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n-1

，当n≥2时，试比较A_n与B_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的a_n和S_n，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理A_n与B_n，最后对a＞0和a＜0两种情况分情况进行比较．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由（

1

a2

）²=

1

a1

•

1

a4

，
得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），因为d≠0，所以d=a₁=a
所以a_n=na，S_n=

(n+1)na

2

（Ⅱ）解：∵

1

Sn

=

2

a

（

1

n

-

1

n+1

）
∴A_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=

2

a

（1-

1

n+1

）
∵a2n-1=2^n-1a，所以

1

a2n-1

=

1

a •2n-1

=

1

a

•(

1

2

)n-1为等比数列，公比为

1

2

，
B_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n-1

=

1

a

•

1-( 1 2 )  n

1- 1 2

=

2

a

•（1-

1

2n

）
当n≥2时，2ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ＞n+1，即1-

1

n+1

＜1-

1

2n

所以，当a＞0时，A_n＜B_n；当a＜0时，A_n＞B_n．

点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查了基础知识的运用．