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    （本题满分12分）

    如下图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．

    （1）按下列要求写出函数关系式：         

    ①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数；

    ②设OP(km) ，将表示成的函数．

    （2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．

     

    【答案】

    （1）①，

    ②（2）

    【解析】（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故，又OP＝，

    所以，

    所求函数关系式为       ………3分

    ②若OP=(km) ，则OQ＝10－，

    所以OA =OB=

    所求函数关系式为       ………6分

    （2）选择函数模型①，

     ………8分

    令0 得sin ，因为，所以=，

    当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以函数在=时取得极小值，这个极小值就是最小值． ．

    这时(km)                         ………11分

    因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为(km)时，铺设的排污管道总长度最短．                                           ………12分

     

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    （Ⅰ）求证：⊥平面

    （Ⅱ）求二面角的大小；

    （Ⅲ）求点到平面的距离.

     

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