Question

已知点，，动点的轨迹曲线满足，，过点的直线交曲线于、两点.

(1)求的值，并写出曲线的方程；

(2)求△面积的最大值.

Answer 1

【命题意图】本小题考查椭圆的定义及标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】解：(1)设，在△中，，，根据余弦定理得.                 （2分）

即.

.

而，所以. 

所以.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （4分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又，

因此点的轨迹是以、为焦点的椭圆（点在轴上也符合题意），

，.

所以曲线的方程为.                              　    （6分）

(2)设直线的方程为.

由，消去x并整理得.          ①

显然方程①的,设,,则

由韦达定理得，.                  （9分）

所以.

令，则，.

由于函数在上是增函数.

所以，当，即时取等号.

所以，即的最大值为3.

所以△面积的最大值为3，此时直线的方程为.            （12分）