Question

设函数f（x）=ln

x+1

2

+

1-x

a(x+1)

(a＞0)．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当n∈N^*且n≥2时，

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜ln n．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则可得f′（x），可得f（x）在x=

2

a

-1处取得极小值．由已知函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得

2 a -1≤1 a＞0

，解得a即可．
（II）由（I）可知：当a=1时，f（x）=ln

x+1

2

+

1-x

x+1

在[1，+∞），可得当x＞1时，有f（x）＞f（1）=0，即ln

x+1

2

＞-

1-x

x+1

(x＞1)．取-

1-x

x+1

=

1

n

（n≥2），解出x，利用累加求和和对数的运算法则即可得出．

解答：解：f′(x)=

2

x+1

-

a(x+1)+a(1-x)

a2(x+1)2

=

1

x+2

-

2

a(x+1)2

=

x-( 2 a -1)

(x+1)2

（x＞-1）．
∴f（x）在(-1，

2

a

-1)上为减函数，在(

2

a

-1，+∞)为增函数．
∴f（x）在x=

2

a

-1处取得极小值．
（I）由函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴

2 a -1≤1 a＞0

，解得a≥1．
∴实数a的取值范围是[1，+∞）；
（II）由（I）可知：当a=1时，f（x）=ln

x+1

2

+

1-x

x+1

在[1，+∞），
∴当x＞1时，有f（x）＞f（1）=0，即ln

x+1

2

＞-

1-x

x+1

(x＞1)．
取-

1-x

x+1

=

1

n

（n≥2），则x=

n+1

n-1

＞1，

x+1

2

=

n

n-1

，
即当n≥2时，ln

n

n-1

＞

1

n

（n≥2）．
∴

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

=lnn．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性研究函数的单调性、极值、累加求和是解题的关键．