Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥平面PAD，E为PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若AD⊥PB，求证：PA⊥平面ABCD；
（3）若点M在棱PD上，且有

PM

MD

=2，试在棱BC上
确定一点H，使得MH∥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）取PD的中点F，通过证四边形ABEF为平行四边形，证得BE∥AF，再由线线平行⇒线面平行；
（2）先证PA⊥AB，PA⊥AD，再由线面垂直的判定定理得线面垂直；
（3）在AD上取点O，使AO=2OD，再过O作OH∥AB，交BC于H，可证平面PAB∥平面OMH，由面面平行的性质可得MH∥平面PAB，故H即为所求．

解答：（1）证明：取PD中点F，连接EF、AF，则EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，EF=

1

2

CD，即CD=2EF．
又AB∥CD，CD=2AB
∴AB=EF且AB∥EF，∴四边形ABEF为平行四边形．
∴BE∥AF，AF?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，AB⊥PA
又AD⊥PB，PB?平面PAB，AB?平面PAB，PB∩AB=B，
∴AD⊥平面PAB，PA?平面PAB，∴AD⊥PA，又AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（3）在AD上取点O，使AO=2OD，连接OM，
过O作OH∥AB，交BC于H，∵

DM

MP

=

DO

OA

=

1

2

，∴MO∥PA，
又PA、AB?平面PAB，MO、OH?平面PAB，
∴MO∥平面PAB，OH∥平面PAB，MO∩OH=O，
∴平面PAB∥平面OMH，MH?平面OMH，
∴MH∥平面PAB．

点评：本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，证明线面平行通常有两种思路，1、由线线平行⇒线面平行；2、由面面平行⇒线面平行．