Question

已知椭圆，左右焦点分别为F₁，F₂，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，直线l经过点F₂，倾斜角为45°，与椭圆交于A，B两点．
（1）若|F₁F₂|=2，求椭圆方程；
（2）对（1）中椭圆，求△ABF₁的面积；
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数λ，μ，使得，试确定λ，μ的关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，|F₁F₂|=2，即可求椭圆方程；
（2）△ABF₁的面积，可以以焦距长为底，A、B纵坐标差的绝对值为高进行求解；
（3）确定椭圆的右焦点F的坐标，设出直线AB所在直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理及，同时利用点A，B在椭圆上，即可求得λ，μ的关系式．
解答：解：（1）由已知，可得，，
∵a²=b²+c²，∴，b=1，
∴椭圆方程为．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线，
代入椭圆方程，消去y可得，
∴，，，，
∴．
（3）由已知椭圆方程为x²+3y²=3b²①，右焦点F的坐标为，直线AB所在直线方程为②，
由①②得：，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，
设M（x，y），由得，x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
∵点M在椭圆上，∴，
整理得：，③
④，
又点A，B在椭圆上，故⑤，⑥，
将④⑤⑥代入③得λ²+μ²=1．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程，利用韦达定理是常用方法．