Question

【题目】已知数列， 都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列.

（1）设数列、分别为等差、等比数列，若， ， ，求；

（2）设的首项为1，各项为正整数， ，若新数列是等差数列，求数列 的前项和；

（3）设（是不小于2的正整数），，是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总是？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）49；（2）或；（3）首项，公差的等差数列符合题意.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得 ；

(2)由题意可得等比数列的项都是等差数列中的项，所以. 数列的前项和或.

(3) 存在等差数列，只需首项，公差.利用题中的结论可证得此命题成立.

试题解析：

解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由题意得， ，解得或，因数列单调递增，

所以，所以， ，所以， . 因为， ， ， ，

所以.

（2）设等差数列的公差为，又，且，

所以，所以. 因为是中的项，所以设，即.

当时，解得，不满足各项为正整数；

当时， ，此时，只需取，而等比数列的项都是等差数列中的项，所以；

当时， ，此时，只需取，

由，得， 是奇数， 是正偶数， 有正整数解，

所以等比数列的项都是等差数列中的项，所以. 综上所述，数列的前项和或.

（3）存在等差数列，只需首项，公差.

下证与之间数列的项数为. 即证对任意正整数，都有，

即成立.

由，

.

所以首项，公差的等差数列符合题意.