Question

给出下列：
①方程2x-log_ax=0的解有1个；
②（x-2）•

x-1

≥0的解集为[2，+∞）．
③“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件；
④函数y=x³过点A （1，1）的切线是y=3x-2；
⑤△ABC的外接圆的圆心为0，半径为1，2

OA

+

AB

+

AC

=

0

，且|

OA

|=|

AB

|
则向量

BA

在向量

BC

方向上的投影为

1

2

．其中真命题的序号是

 

（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

分析：①当 当a＞1时，方程2x-log_ax=0 无解，故①不正确．
②（x-2）•

x-1

≥0的解集为[2，+∞）∪{1}，故②不正确．
③由“x＜1”能推出“x＜2”； 但由“x＜2”，不能推出“x＜1”，故③正确．
④函数y=x³过点A （1，1）的切线的斜率为3，切线方程为 y-1=3（x-1），故④正确．
⑤如图：由条件可得BC为直径，三角形AOB为等边三角形，向量

BA

在向量

BC

方向上的投影为1×cos60°=

1

2

，
故⑤正确．

解答：解：①当 0＜a＜1时，方程2x-log_ax=0的解有1个； 当a＞1时，方程2x-log_ax=0 无解，故①不正确．
②（x-2）•

x-1

≥0的解集为[2，+∞）∪{1}，故②不正确．
③由“x＜1”能推出“x＜2”； 但由“x＜2”，不能推出“x＜1”（如x=1.5），
故“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件，故③正确．
④函数y=x³过点A （1，1）的切线的斜率为3，切线方程为 y-1=3（x-1），即  y=3x-2，故④正确．
⑤如图：△ABC的外接圆的圆心为0，半径为1，

AB

+

AC

=2

AO

，且|

OA

|=|

AB

|，∴O为BC的中点，
BC为直径，三角形AOB为等边三角形，则向量

BA

在向量

BC

方向上的投影为1×cos60°=

1

2

，故⑤正确．
故答案为：③④⑤．
⑤

点评：本题考查不等式与不等关系，充分条件、必要条件的定义，利用导数求切线的斜率，一个向量在另一个向量上
的投影的意义，画出图形是解题的关键，属于基础题．