Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+4x的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象经过点（-2，0），如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）-k在区间[-3，2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（-2，0），代入即可求出a、b之间的关系式，再根据f（x）极小值为-8可得f（-2）=-8，解出即可得到a、b的值；
（2）将函数g（x）=f（x）-k在区间[-3，2]上有两个不同的零点，转化成k=f（x）在区间[-3，2]上有两个不同的根，
即y=k与y=f（x）的图象在区间[-3，2]上有两个不同的交点，列出表格，即可求出实数k的取值范围．

解答：解：（1）根据题意可知函数在x=-2处取极小值8
f′（x）=3ax²+2bx+4
∴

f′(-2)=12a-4b+4=0  f(-2)=-8a+4b-8=-8

解得：a=-1，b=-2
∴f（x）=-x³-2x²+4x，
（2）∵函数g（x）=f（x）-k在区间[-3，2]上有两个不同的零点，
∴k=f（x）在区间[-3，2]上有两个不同的根
即y=k与y=f（x）的图象在区间[-3，2]上有两个不同的交点
f'（x）=-3x²-4x+4，令f′（x）=0，解得x=-2或x=

2

3

，可列表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	-3?	↘	极小值-8	↗	极大值 40 27	↘	-8

由表可知，当k=-8或-3＜k＜

40

27

时，方程k=f（x）在区间[-3，2]上有两个不同的根，
即函数y=f（x）-k在区间[-3，2]上有两个不同的零点．

点评：考查学生会用待定系数法求函数的解析式，会利用导数求函数极值，以及函数与方程的思想，属于中档题．