Question

向量

a

，

b

，

c

，

d

满足：|

a

|=1，|

b

|=

2

，

b

在

a

上的投影为

1

2

，（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，|

d

-

c

|=1，则|

c

|+|

d

|的最大值是

3+

2

．

Answer 1

分析：不妨设向量

a

，

b

，

c

，

d

有相同的起点O，终点分别为A，B，C，D，然后根据条件可得C在以AB为直径的圆上，当向量

c

过AB中点时，其模最大，可求出|

c

|的最大值，根据|

d

-

c

|=1，D在以C为圆心，1为半径的圆上，当C，D共线时|

d

|最大，从而求出所求．

解答：解：不妨设向量

a

，

b

，

c

，

d

有相同的起点O，终点分别为A，B，C，D．
∵

b

在

a

上的投影为

1

2

，
∴

a • b

| a |

=

a

•

b

=

1

2

，
∵（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，
∴

CA

•

CB

=0，
即C在以AB为直径的圆上． 
∴当向量

c

过AB中点时，其模最大，
此时：|

c

|=

1

2

|

a

+

b

|+

2

2

=1+

2

2

，
∵|

d

-

c

|=1，
∴D在以C为圆心，1为半径的圆上，
∴当C，D共线时|

d

|最大，
故|

c

|+|

d

|的最大值=2|

c

|_max+1=3+

2

．
故答案为：3+

2

．

点评：本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及几何意义，解题的关键根据题意作出图形，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．