Question

如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，F是AE的中点．
（1）证明：DF∥平面ABC；
（2）求AB与平面BDF所成角的大小．

Answer 1

分析：F是AE的中点考虑取AB中点G，连CG，GF，则GF∥BE，且GF=

1

2

BE．从而可证明DF∥CG，根据线面平行的判定定理可证
（2）设A到平面BDF距离为h，由V_A-BDF=V_D-ABF可求h，设AB与平面BDF所成角为θ，则sinθ=

h

AB

可求

解答：证明：（1）取AB中点G，连CG，GF，则GF∥BE，且GF=

1

2

BE．
∴GF∥CD且GF=CD
∴四边形FGCD为平行四边形．∴DF∥CG，
∵CG?平面ABC又DF?平面ABC
∴DF∥平面ABC．
（2）设A到平面BDF距离为h，由V_A-BDF=V_D-ABF知h=

S△ABF•CB

S△BDF

又△BDF中，BF=

2

，BD=DF=

5

，∴S△BDF=

3

2

，S△ABF=

1

2

S△ABE=1，CB=2，
∴h=

1×2

3 2

=

4

3

设AB与平面BDF所成角为θ，则sinθ=

h

AB

=

2

3

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理及线面平行与线线平行的相互转化，而等体积求解距离是高考的重点内容，要注意熟练掌握，另外还要注意在直线与平面所成角的求解中，也可以不做垂线，而是直接根据其他知识求解出距离即可