Question

【题目】已知椭圆的焦距和长半轴长都为2.过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆的左顶点，直线，分别与直线相交于点，.求证：以为直径的圆恒过点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）易知椭圆中，结合，可求出椭圆的方程；

（2）结合由（1），可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，设，，可表示出直线的方程，进而得到点的坐标，同理可得点的坐标，然后得到的表达式，结合韦达定理可证明，即，即以为直径的圆恒过点.

（1）由题意，椭圆中，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）知，，设直线的方程为，

联立，可得，

显然恒成立，

设，，则，

易知直线的斜率存在，，则直线的方程为，

所以，即，同理可得，

则，

所以，

所以，即以为直径的圆恒过点.