Question

【题目】现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．

（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；

（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x的函数，利用基本不等式求得最值.

（2）设点，其中，，将表示为关于x、y的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..

（1）

，

当且仅当，即时，取得最大值，

又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，

∴，取得最大值；

（2）过点作于，设点，其中，，

∴

，

当且仅当，即时，取得最大值，

此时轨迹方程为，

其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．