Question

已知斜率为1的直线l与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于BD两点，BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D的圆与x轴相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得到直线l的方程，和双曲线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，再利用中点坐标公式得到a与b的关系，结合隐含条件可求C的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）把C的方程用含有a的代数式表示，求出|BF|和|DF|的长度，由|DF|•|BF|=17可求得a的值，由弦长公式求出|BD|，结合提议可得结论．

解答：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，
代入C的方程，并化简，得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则x1+x2=

4a2

b2-a2

，x1x2=-

a2b2

b2-a2

  ①
由M（1，3）为BD的中点知，

x1+x2

2

=1，故

1

2

×

4a2

b2-a2

=1
即b²=3a²  ②
故c=

a2+b2

=2a，所以C的离心率e=

c

a

=2；
（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x²-y²=3a²，
A（a，0），F（2a，0），x1+x2=2，x1x2=

4+3a2

2

＜0
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a．
|BF|=

(x1-2a)2+y12

=

(x1-2a)2+3x12-3a2

=a-2x1，
|FD|=

(x1-2a)2+y22

=

(x2-2a)2+3x22-3a2

=2x2-a，
|BF|•|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8
又|DF|•|BF|=17，
故5a²+4a+8=17，
解得a=1，或a=-

9

5

（舍去），
故|BD|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=6，
连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
∴过A、B、D三点的圆与 轴相切．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，解决此类问题的常用方法是利用一元二次方程的根与系数关系，采用“设而不求”的思想方法，考查了学生的运算能力，属于高考中的压轴题．