Question

【题目】已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： .

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当时， ， 递增，当时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为，减区间为；（2）利用分析法先等价转化所证不等式：要证明，只需证明 ，即证明，即证明，再令，构造函数，利用导数研究函数单调性，确定其最值： 在上递增，所以，即可证得结论.

试题解析：(1) 的定义域为，

当时， ， 递增

当时，

递增； 递减

综上：∴当时， 的单调增区间为，单调减区间为

当时， 的单调增区间为

（2）由是函数的两个零点有

，相减得

又∵

∴

所以要证明，只需证明

即证明，即证明

令，则

则，

∴在上递减， ，∴在上递增，

所以成立，即