Question

（本小题满分13分）

    对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数

列具有“性质”。

    不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同

时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”。

（I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；

（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；

（III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，

数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”。

 

Answer 1

【答案】

（I）证明见解析。

（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，

数列为3，2，1，5，4。

数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”

因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数

所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”

（III）证明见解析。

【解析】（I）当时，                                      …………1分

    …………2分

又。                                             …………3分

所以是完全平方数，

数列具有“P性质”                                                                   …………4分

（II）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，                              …………5分

数列为3，2，1，5，4                                                            …………6分

数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”     …………7分

因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数

所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P性质”                             …………8分

（III）设

注意到

令

由于，

所以

又

所以

即                                                                              …………10分

因为当时，数列具有“变换P性质”

所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成

使得都是平方数                                                  …………11分

另外，可以按相反顺序排列，

即排列为

使得

                              …………12分

所以1，2，可以排列成

满足都是平方数.

即当时，数列A也具有“变换P性质”…………13分