Question

四边形ABCD的两条对角线AC与BD的长分别为8厘米与12厘米，它们的夹角为arccos

2 2

3

，则S_{四边形ABCD}=

16

平方厘米．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，如图所示，过D和B分别作AC边上的垂线，垂足分别为E和F，设两对角线的夹角为α，根据它们的夹角为arccos

2 2

3

，得到cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，在直角三角形DOE中，由正弦定理得出|DE|=

1

3

|OD|，同理可得|BF|=

1

3

|OB|，把四边形ABCD的面积分为三角形ADC与三角形ABC两部分来求，都以AC为底边，高分别为DE及BF，利用三角形的面积公式表示出两三角形面积，相加后，把得出的等式代入即可得到四边形的面积等于对角线乘积的

1

6

，把两对角线的值代入即可求出四边形ABCD的面积．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
过D作DE⊥AC，过B作BF⊥AC，设∠DOE=∠BOC=α，
∴cosα=

2 2

3

，又α∈（0，180°），
∴sinα=

1-cos2α

=

1

3

，
在△DOE中，根据正弦定理得：

|DO|

sin90°

=

|DE|

sinα

，
可得：|DE|=

1

3

|DO|，
同理可得：|FB|=

1

3

|OB|，又|AC|=8cm，|BD|=12cm，
则S_{四边形ABCD}=S_△ACD=+S_△ABC
=

1

2

|AC|•|DE|+

1

2

|AC|•|BF|
=

1

2

|AC|•（|DE|+|BF|）
=

1

2

|AC|•（

1

3

|DO|+

1

3

|OB|）
=

1

6

|AC|•|BD|
=16（平方厘米）．
故答案为16

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系以及反三角形函数的定义，利用了数形结合的思想．其中根据题意画出图形，过D及B分别作出高DE和BF是本题的突破点．