Question

圆x²+y²=r²（r＞0）经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点F₁，F₂，且与该椭圆有四个不同交点，设P是其中的一个交点，若△PF₁F₂的面积为26，椭圆的长轴长为15，则a+b+c=

 

（c为半焦距）．

Answer 1

分析：依题意作图，易求a=

15

2

；利用椭圆的定义与直径三角形△F₁PF₂即可求得c=

11

2

，从而可求得b，继而可得a+b+c的值．

解答：解：依题意知，作图如右：
∵2a=15，
∴a=

15

2

；
又△F₁PF₂为以F₁F₂为斜边的直径三角形，且|PF₁|+|PF₂|=2a=15，

1

2

|PF₁|•|PF₂|=26，|F₁F₂|=2c，
∴(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+2|PF₁|•|PF₂|+|PF2|2=15²=225，
即|F1F2|2+2×52=225，
∴4c²=121，
∴c=

11

2

，
∴b²=a²-c²=

104

4

，
∴b=

26

，
∴a+b+c=

15

2

+

11

2

+

26

=13+

26

．
故答案为：13+

26

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的理解与应用，考查勾股定理的应用，属于中档题．