Question

已知关于x的不等式

ax2

ax-1

-x＞0．
（1）当a=-1时，解此不等式；
（2）对a∈R，解此不等式．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，此不等式即

-x2

-x-1

-x＞0，即

-x

x+1

＞0，即x（x+1）＜0．解此一元二次不等式，求得原不等式的解集．
（2）对a∈R，由题意可得

x

ax-1

＞0．分当a＜0时、当a＞0时、当a=0时三种情况，分别求得不等式的解集．

解答：解：（1）当a=-1时，此不等式即

-x2

-x-1

-x＞0，即

-x

x+1

＞0，即

x

x+1

＜0，即x（x+1）＜0．
解得-1＜x＜0，故此时不等式的解集为（-1，0）．
（2）对a∈R，由关于x的不等式

ax2

ax-1

-x＞0，可得

x

ax-1

＞0．
当a＜0时，不等式即 x（ax-1）＞0，解得

1

a

＜x＜0，解集为{x|

1

a

＜x＜0}．
当a＞0时，不等式即 x（ax-1）＞0，解得x＞

1

a

，或 x＜0，解集为{x|

1

a

＜x，或 x＜0}．
当a=0时，不等式即0-x＞0，解得 x＜0，解集为{x|x＜0}．

点评：本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，体现了分类讨论及转化的数学思想，属于中档题．