Question

已知点B₁(1，y₁)，B₂(2，y₂)，…，B_n(n，y_n)，…(n∈N^*)顺次为直线y=x+上的点，点A₁(x₁，0)，A₂(x₂，0)，…，A_n(x_n，0)，…顺次为x轴上的点，其中x₁=a(0＜a＜1).对于任意n∈N^*，点A_n，B_n，A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．

(1)求数列{y_n}的通项公式，并证明它为等差数列；

(2)求证：x_n+2－x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；

(3)上述等腰△A_nB_nA_n+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a的值；若不可能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(2)xn=;(3)当a=或a=或a=时，存在直角三角形． (1)证明：yn=n+，yn+1－yn=，所以数列{yn}是等差数列． (2)解：由题意知，=n，所以数列xn+xn+1=2n.① xn+1+xn+2=2(n+1).② ①、②相减，得xn+2－xn=2. ∴x1，x3，x5，…，x2n－1，…成等差数列；x2，x4，x6，…，x2n，…成等差数列， ∴xn= (3)解：当n是奇数，An(n+a－1，0)，An+1(n+1－a，0)，所以|AnAn+1|=2(1－a);当n是偶数时，An(n－a，0)，An+1(n+a，0)，所以|AnAn+1|=2a; 作BnCn⊥x轴于Cn，则|BnCn|=n+． 要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必需且只需|AnAn+1|=2|BnCn|． 所以，当n为奇数时，有2(1－a)=2(n+)，即12a=11－3n.(*) 当n=1时，a＝；当n=3时，a＝；当n≥5时，方程(*)无解． 当n是偶数时，12a＝3n＋1，同理可求得a=． 综上，当a=或a=或a=时，存在直角三角形．