Question

如图，PAB是圆O的割线，AB为圆O的直径，PC为圆O的切线，C为切点，BD⊥PC于D，交圆O于点E，PA=AO=OB=1，
（1）求∠P的大小，
（2）求DE的长．

Answer 1

分析：（1）根据连接圆心与切点所得的半径与切线垂直，得到直角三角形，根据斜边的长度是直角边的2倍，根据直角三角形的三角函数定义，得到要求的角是30°．
（2）根据直角三角形中边长和角度，得到BD与CD的长度，根据DC是圆的一条切线，DEB是圆的一条割线，应用切割线定理，列出比例式得到结果．

解答：解：（1）连接OC，
∵PA=AO=OC=1，
∴PO=2OC，
∴∠P=30°，
（2）∵在直角三角形中，PB=3，∠P=30°，
∴BD=

3

2

，
PD=

3 3

2

，
∴CD=

3

2

，
∵DC是圆的一条切线，DEB是圆的一条割线，
∴DC²=DE•DB
∴DE=

DC2

DB

=

3 4

3 2

=

1

2

答：（1）角P的度数是30°，
（2）DE的长是

1

2

点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查特殊的直角三角形中边和角和角间的关系，本题是一个基础题，解题的关键是抓住含有30°角的直角三角形的特征．