Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，点P（1，f（1））在函数y=f（x）的图象上，过P点的切线方程为y=3x+1
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，所以f（1）=4，f′（1）=3，又因为y=f（x）在x=-2时有极值，所以f′（-2）=0，列三个方程解之即可
（2）由于函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，所以 f′（1）=3，所以2a=-b，欲使函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在区间[-2，1]上恒成立，转化为b≥

3x2

x-1

在区间[-2，1]上恒成立，利用函数性质求此函数的最大值即可

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²⁺2ax+b
依题意

f′(1)=3 f(1)=4 f′(-2)=0

即

3+2a+b=3 1+a+b+c=4 14-4a+b=0

解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴f′（1）=3，∴2a=-b
∴f′（x）=3x²-bx+b
依题意欲使函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，只需f′（x）=3x²-bx+b≥0在区间[-2，1]上恒成立
即b≥

3x2

x-1

在区间[-2，1]上恒成立
∵

3x2

x-1

≤0
∴b≥0时，函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增

点评：本题考察了导数的几何意义，利用导数求函数极值，利用导数解决已知函数单调性求参数范围问题的方法，考查了转化化归的思想方法．