Question

如图，在△ABC中，点P是AB上的一点，且

CP

=

2

3

CA

+

1

3

CB

，Q是BC的中点，AQ与CP交于点M，设

CM

=λ 

CP

，

AM

=μ 

AQ

则实数λ+μ=（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  3

• C．

  5

  4

• D．

  4

  5

Answer 1

分析：由已知中在△ABC中，点P是AB上的一点，且

CP

=

2

3

CA

+

1

3

CB

，Q是BC的中点，AQ与CP交于点M，设

CM

=λ 

CP

，

AM

=μ 

AQ

，根据三点共线的充要条件，我们易构造关于λ和μ的方程，并分别求出λ和μ的值，进而得到答案．

解答：解：∵

CP

=

CB

+

BP

=

2

3

CA

+

1

3

CB

化简得：

BP

=

2

3

( CA - CB )

=

2

3

BA

即P为BA的三等分点，
∴

AP

=

1

3

AB

∵

AM

=μ 

AQ

=μ•

1

2

（

AB

+

AC

）=

3μ

2

AP

+

μ

2

AC

∵C，M，P三点共线
∴

3μ

2

+

μ

2

=1
解得μ=

1

2

又∵

CM

=λ 

CP

=

2λ

3

CA

+

λ

3

CB

=

2λ

3

CA

+

2λ

3

CQ

，
∵A，M，Q三点共线
∴

2λ

3

+

2λ

3

=1
解得λ=

3

4

故λ+μ=

5

4

故选C．

点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，其中当A，B，P三共线时，若O这直线外一点，且

OP

=λ

OA

+μ

OB

，则λ+μ=1，是解答本题的关键．